ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Геометрический смысл производной, касательная

Задача 525690. Геометрический смысл производной, касательная

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

На рисунке изображены график функции y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции g левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 7f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 21x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 441 конец дроби в точке x0.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Производная сложной функции вычисляется по правилам дифференцирования, а производная исходной функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной.

Шаг 1. Найдём производную функции g(x)g(x)

Дано g(x)=−7f(x)+21x+1441g(x) = -7f(x) + 21x + \frac{1}{441}.

По правилам дифференцирования:

  • производная константы равна нулю
  • производная линейной функции 21x21x равна 2121
  • производная произведения константы на функцию: (−7f(x))′=−7f′(x)(-7f(x))' = -7f'(x)

Получаем: g′(x)=−7f′(x)+21g'(x) = -7f'(x) + 21

Шаг 2. Определим f′(x0)f'(x_0) из уравнения касательной

По геометрическому смыслу производной значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Из рисунка уравнение касательной имеет вид y=−3x+by = -3x + b (где bb — некоторая константа).

Следовательно, угловой коэффициент касательной k=−3k = -3.

Тогда f′(x0)=−3f'(x_0) = -3.

Шаг 3. Найдём g′(x0)g'(x_0)

Подставим найденное значение в формулу для производной: g′(x0)=−7f′(x0)+21=−7⋅(−3)+21=21+21=42g'(x_0) = -7f'(x_0) + 21 = -7 \cdot (-3) + 21 = 21 + 21 = 42

Ответ: 42

Типичные ошибки

  • Забыли, что угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания
  • Ошибка в знаке при умножении: забыли, что −7⋅(−3)=+21-7 \cdot (-3) = +21, а не −21-21
  • Не применили правило дифференцирования суммы: пропустили слагаемое 21x21x

Ещё задачи этой подтемы