ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Геометрический смысл производной, касательная

Задача 510938. Геометрический смысл производной, касательная

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  −6.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Касательная параллельна горизонтальной прямой тогда и только тогда, когда её угловой коэффициент равен нулю, то есть в точках, где производная равна нулю — это точки локальных экстремумов.

Прямая y=−6y = -6 — это горизонтальная прямая, её угловой коэффициент равен нулю.

Если касательная к графику функции параллельна этой прямой, то касательная тоже должна быть горизонтальна, а значит, её угловой коэффициент также равен нулю.

По геометрическому смыслу производной, угловой коэффициент касательной в точке равен значению производной в этой точке: k=f′(x0)k = f'(x_0).

Следовательно, нам нужно найти все точки, где f′(x)=0f'(x) = 0. Это условие выполняется в точках экстремумов функции — максимумов и минимумов, где график меняет направление возрастания на убывание или наоборот.

Посмотрим на рисунок графика и подсчитаем количество таких точек. На интервале (−6;5)(−6; 5) видно чередование вершин (максимумы) и впадин (минимумы), где касательная горизонтальна.

Проходя по графику слева направо, мы насчитываем 7 таких точек экстремумов, где производная обращается в нуль.

Типичные ошибки

  • Забыли, что касательная параллельна прямой, если у них одинаковые угловые коэффициенты
  • Путаница между точками экстремумов и точками перегиба — производная равна нулю именно в экстремумах
  • Неправильный подсчёт количества вершин и впадин на графике из-за невнимательности

Ещё задачи этой подтемы