Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, то есть $f'(x_0) = \tan \alpha$, где $\alpha$ — угол наклона касательной к оси абсцисс.

Чтобы найти тангенс этого угла, построим прямоугольный треугольник, используя две точки на касательной. Согласно графику, берём точки $A(2; 4)$ и $C(-6; 2)$, лежащие на касательной.

Добавим вспомогательную точку $B(2; 2)$ так, чтобы получился прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом в $B$.

Тогда:

• вертикальный катет (подъём): $AB = 4 - 2 = 2$
• горизонтальный катет (движение слева направо): $BC = 2 - (-6) = 8$

Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу $\angle ACB$. По определению: $$f'(x_0) = \tan(\angle ACB) = \frac{AB}{BC} = \frac{2}{8} = 0{,}25$$

Ответ: $0{,}25$