Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной в этой точке. Угловой коэффициент касательной — это тангенс угла, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс.

Для вычисления тангенса этого угла построим прямоугольный треугольник. На графике выберем две удобные точки на касательной и найдём их координаты. Из рисунка видно, что касательная проходит через точки $A(8; 8)$ и $C(3; 1)$.

Построим прямоугольный треугольник $ABC$:

• Вершина $B$ имеет координаты $(8; 1)$ — это точка с той же абсциссой, что $A$, и той же ординатой, что $C$.

Вычислим длины катетов:

• Вертикальный катет $AB = 8 - 1 = 7$ (это изменение по оси $y$)
• Горизонтальный катет $BC = 8 - 3 = 5$ (это изменение по оси $x$)

Тангенс угла наклона касательной равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $$f'(x_0) = \tan(\angle ACB) = \frac{AB}{BC} = \frac{7}{5} = 1,4$$

Это и есть значение производной в точке $x_0$.