ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Геометрический смысл производной, касательная

Задача 541816. Геометрический смысл производной, касательная

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

На рисунке изображены график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка в точке x_0.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, который находится как отношение приращения ординаты к приращению абсциссы по двум точкам прямой.

Идея. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.

Шаг 1. Берём две точки касательной с целыми координатами. По рисунку прямая проходит через отмеченные точки A(−4;−2)A(-4;-2) и B(1;7)B(1;7).

Шаг 2. Считаем угловой коэффициент. k=ΔyΔx=7−(−2)1−(−4)=95=1,8.k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{7-(-2)}{1-(-4)}=\frac{9}{5}=1{,}8.

Шаг 3. Вывод. Так как прямая — касательная к графику в точке с абсциссой x0x_0, то f′(x0)=k=1,8.f'(x_0)=k=1{,}8.

Прямая возрастает, значит производная положительна — знак согласуется.

Типичные ошибки

  • Считают отношение наоборот: Δx/Δy\Delta x/\Delta y.
  • Забывают знак: при убывающей касательной производная отрицательна.
  • Берут точки «на глаз», не по узлам сетки, из-за чего получается неверная дробь.

Ещё задачи этой подтемы