ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Геометрический смысл производной, касательная

Задача 27501. Геометрический смысл производной, касательная

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, поэтому задача сводится к нахождению количества решений уравнения f′(x)=−2f'(x) = -2 на графике производной.

Шаг 1: Понимаем связь между касательной и производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику в этой точке. Это основной геометрический смысл производной.

Шаг 2: Определяем условие на угловой коэффициент.

Сказано, что касательная параллельна прямой y=−2x−11y = -2x - 11 или совпадает с ней. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. У данной прямой угловой коэффициент равен −2-2.

Шаг 3: Переводим условие на язык производной.

Нужно найти все точки, где f′(x)=−2f'(x) = -2. Это означает, что в этих точках касательная имеет наклон −2-2, то есть параллельна заданной прямой.

Шаг 4: Интерпретируем графически.

На графике производной f′(x)f'(x) нужно найти все точки пересечения с горизонтальной прямой y=−2y = -2. Каждое такое пересечение — это точка, где касательная имеет нужный наклон.

Шаг 5: Подсчитываем пересечения.

Провести горизонтальную линию y=−2y = -2 через график производной и посчитать количество точек, где она пересекает кривую. На интервале (−10;2)(−10; 2) таких точек ровно 5.

Типичные ошибки

  • Путаница между графиком функции и графиком производной — нужно искать пересечения именно на графике f′(x)f'(x), а не на f(x)f(x)
  • Невнимательный подсчёт пересечений при визуальном анализе графика
  • Забывают, что касательная может совпадать с прямой, если их угловые коэффициенты совпадают — это не отдельное условие, а уже учтено в уравнении f′(x)=−2f'(x) = -2

Ещё задачи этой подтемы