ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Геометрический смысл производной, касательная

Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

На рисунке изображён график функции y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной, который вычисляется как отношение вертикального катета к горизонтальному катету прямоугольного треугольника, построенного на двух точках касательной.

Производная функции в точке касания численно равна угловому коэффициенту касательной. Угловой коэффициент прямой — это тангенс угла, который эта прямая образует с положительным направлением оси x.

Чтобы найти tan⁡(α)\tan(\alpha), где α\alpha — угол наклона касательной, нужно построить прямоугольный треугольник, стороны которого параллельны осям координат.

По графику определяем две точки на касательной. Возьмём точки с координатами (1;2)(1; 2) и (−2;−4)(-2; -4). Построим вспомогательный прямоугольный треугольник:

  • вертикальный катет (изменение y): Δy=2−(−4)=6\Delta y = 2 - (-4) = 6
  • горизонтальный катет (изменение x): Δx=1−(−2)=3\Delta x = 1 - (-2) = 3

Угловой коэффициент касательной равен: f′(x0)=tan⁡(α)=ΔyΔx=63=2f'(x_0) = \tan(\alpha) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6}{3} = 2

Тангенс угла наклона — это всегда отношение вертикального смещения к горизонтальному смещению при движении вдоль прямой. Поскольку оба смещения положительны (движемся вправо и вверх), производная положительна и равна 2.

Типичные ошибки

  • Перепутать порядок катетов в дроби (написать горизонтальный на вертикальный вместо обратного)
  • Неправильно прочитать координаты точек на графике, ошибиться в вычислении разностей координат
  • Забыть про знак производной: если касательная наклонена вниз слева направо, производная отрицательна
Непонятно?

Похожие задачи (другие числа)