ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Геометрический смысл производной, касательная

Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  6 или совпадает с ней.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Горизонтальная касательная существует только в точках экстремума, где производная равна нулю; нужно просто подсчитать количество локальных максимумов и минимумов на графике.

Прямая y=6y = 6 — горизонтальная линия с угловым коэффициентом k=0k = 0. Касательная параллельна этой прямой или совпадает с ней, только если она тоже горизонтальна, то есть имеет угловой коэффициент 0.

По геометрическому смыслу производной угловой коэффициент касательной в точке x0x_0 равен f′(x0)f'(x_0). Значит, нужно найти все точки, где f′(x0)=0f'(x_0) = 0.

Производная обращается в нуль в точках экстремума функции — в локальных максимумах и минимумах, где график достигает "вершин" и "впадин". В этих точках касательная действительно горизонтальна.

На интервале (−5;5)(−5; 5) анализируем график: функция имеет 2 локальных максимума (вершины) и 2 локальных минимума (впадины). В каждой из этих четырёх точек производная равна нулю, значит, в каждой из них касательная горизонтальна.

Ответ: 4 точки.

Типичные ошибки

  • Забыли посчитать одну из впадин или вершин, пересчитав экстремумы
  • Спутали точки экстремума с точками, где график пересекает линию y=6y = 6
  • Включили в ответ концы интервала, хотя экстремумов там может не быть или интервал открыт
Непонятно?

Похожие задачи (другие числа)