ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Геометрический смысл производной, касательная

Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

На рисунке изображены график функции y  =  f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Производная в точке касания — это тангенс угла наклона касательной; с помощью прямоугольного треугольника найти тангенс острого угла и учесть, что касательная убывает.

Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, который определяется как тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс.

По графику определяем две точки на касательной: A(−3;6)A(-3; 6) и C(5;4)C(5; 4).

Для удобства построим прямоугольный треугольник ABCABC, где B(−3;4)B(-3; 4) — вспомогательная точка. Тогда:

  • вертикальный катет: AB=∣6−4∣=2AB = |6 - 4| = 2
  • горизонтальный катет: BC=∣5−(−3)∣=8BC = |5 - (-3)| = 8

Касательная идёт вниз слева направо (от точки AA к точке CC), поэтому угол наклона к оси абсцисс — тупой. Угол ∠ACB\angle ACB в нашем треугольнике острый.

Угловой коэффициент равен tan⁡(180°−∠ACB)=−tan⁡(∠ACB)\tan(180° - \angle ACB) = -\tan(\angle ACB).

Из треугольника: tan⁡(∠ACB)=ABBC=28=0,25\tan(\angle ACB) = \frac{AB}{BC} = \frac{2}{8} = 0,25.

Следовательно: f′(x0)=−0,25f'(x_0) = -0{,}25

Типичные ошибки

  • Забыли про знак минус: касательная убывает, поэтому коэффициент отрицательный
  • Перепутали, какой катет на что делить: тангенс острого угла равен противолежащему катету, делённому на прилежащий
  • Неправильно прочитали координаты точек на графике или неверно вычислили длины катетов
Непонятно?

Похожие задачи (другие числа)