ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Геометрический смысл производной, касательная

Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

На рисунке изображены график функции y  =  f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной; для убывающей прямой находится как минус отношение вертикального смещения к горизонтальному.

Производная функции в точке касания численно равна угловому коэффициенту касательной, то есть тангенсу угла, который касательная образует с осью абсцисс.

Построим прямоугольный треугольник, используя две точки на касательной. Возьмём точку A(−2; −2) и точку C(4; −5), лежащие на касательной. Опустим из A перпендикуляр на горизонтальную прямую через C, получив вспомогательную точку B(−2; −5).

В треугольнике ABC:

  • вертикальный катет (разность ординат): AB=∣−2−(−5)∣=3AB = |−2 − (−5)| = 3
  • горизонтальный катет (разность абсцисс): BC=∣4−(−2)∣=6BC = |4 − (−2)| = 6

Касательная идёт вниз слева направо (от точки A с большей ординатой к точке C с меньшей). Угол наклона к оси абсцисс — тупой. Тангенс угла наклона касательной равен: f′(x0)=−ABBC=−36=−0,5f'(x_0) = -\frac{AB}{BC} = -\frac{3}{6} = -0,5

Знак минус отражает то, что касательная убывает: при увеличении x значение y уменьшается.

Типичные ошибки

  • Забывают поставить знак минус перед дробью, когда касательная идёт вниз
  • Путают, какой катет на какой делить (вертикальный на горизонтальный, а не наоборот)
  • Находят координаты точек неправильно или ошибаются в вычислении разностей координат
Непонятно?

Похожие задачи (другие числа)