Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

Производная функции в точке касания численно равна угловому коэффициенту касательной, который определяется через тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс.

Для вычисления углового коэффициента построим прямоугольный треугольник. Возьмём на касательной две удобные точки: $A(-2; -9)$ и $C(-5; -3)$. Проведём горизонтальную и вертикальную линии через эти точки, получив третью вершину треугольника $B(-2; -3)$.

В этом треугольнике:

• вертикальный катет (изменение $y$): $|AB| = |-9 - (-3)| = 6$
• горизонтальный катет (изменение $x$): $|BC| = |-2 - (-5)| = 3$

Касательная направлена вниз слева направо, поэтому угол наклона к оси абсцисс тупой. Значение тангенса такого угла можно найти через смежный острый угол $\angle ACB$: $$\tan(180° - \angle ACB) = -\tan(\angle ACB) = -\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = -\frac{AB}{BC} = -\frac{6}{3} = -2$$

Следовательно, $f'(x_0) = -2$.