ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Геометрический смысл производной, касательная

Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

На рисунке изображён график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс; построение прямоугольного треугольника позволяет найти этот тангенс через отношение катетов.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику в этой точке. Угловой коэффициент касательной — это тангенс угла, который она образует с положительным направлением оси абсцисс.

Для нахождения этого угла построим прямоугольный треугольник. По графику видно, что касательная проходит через две точные точки. Выберем их так, чтобы образовать удобный треугольник с катетами, параллельными осям координат.

Отметим три точки:

  • A(2;−2)A(2; -2) — точка на касательной
  • B(2;0)B(2; 0) — точка на оси абсцисс
  • C(−6;0)C(-6; 0) — вторая точка на оси абсцисс

Эти точки образуют прямоугольный треугольник ABCABC с прямым углом в BB.

Вычислим длины катетов:

  • Вертикальный катет: AB=∣0−(−2)∣=2AB = |0 - (-2)| = 2
  • Горизонтальный катет: BC=∣2−(−6)∣=8BC = |2 - (-6)| = 8

Угол наклона касательной к положительному направлению оси xx — это угол, смежный с углом ∠ACB\angle ACB треугольника. Для смежных углов: tan⁡(180°−α)=−tan⁡(α)\tan(180° - \alpha) = -\tan(\alpha).

Поэтому: f′(x0)=−tan⁡(∠ACB)=−ABBC=−28=−0,25f'(x_0) = -\tan(\angle ACB) = -\frac{AB}{BC} = -\frac{2}{8} = -0,25

Отрицательное значение указывает на то, что касательная убывает слева направо.

Типичные ошибки

  • Забыли, что если касательная убывает (идёт вниз), то угловой коэффициент отрицательный, и не поставили минус
  • Перепутали, какой катет делить на какой — нужно противолежащий катет делить на прилежащий к углу
  • Неправильно определили координаты точек на касательной по графику — внимательно читайте масштаб и положение прямой
Непонятно?

Похожие задачи (другие числа)