ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Геометрический смысл производной, касательная

Задача 525689. Геометрический смысл производной, касательная

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

На рисунке изображены график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка и касательная к этому графику, проведённая в точке x_0=2. Найдите значение производной функции g левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 1 в точке x0.

Показать ответ
3,6ответ для бланка

Разбор

Главная идея: Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, найденному по двум точкам прямой; далее просто дифференцируем g(x)=x2−f(x)+1g(x)=x^2-f(x)+1.

1. Находим f′(x0)f'(x_0) — это тангенс угла наклона касательной.

Касательная проходит через отмеченные точки (0; 2)(0;\,2) и (5; 4)(5;\,4). Значит, f′(2)=k=4−25−0=25=0,4.f'(2)=k=\frac{4-2}{5-0}=\frac{2}{5}=0{,}4.

2. Дифференцируем g(x)g(x). g(x)=x2−f(x)+1 ⇒ g′(x)=2x−f′(x).g(x)=x^2-f(x)+1\ \Rightarrow\ g'(x)=2x-f'(x).

3. Подставляем x0=2x_0=2. g′(2)=2⋅2−f′(2)=4−0,4=3,6.g'(2)=2\cdot 2-f'(2)=4-0{,}4=3{,}6.

Типичные ошибки

  • Вместо углового коэффициента касательной берут значение функции в точке x0x_0 (то есть f(2)f(2), а не f′(2)f'(2)).
  • Забывают минус перед f′(x)f'(x) и складывают: 4+0,4=4,44+0{,}4=4{,}4.
  • Неверно считают наклон: путают Δy\Delta y и Δx\Delta x либо неправильно считывают координаты точек прямой по сетке.

Ещё задачи этой подтемы