Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

Касательная к графику функции — это прямая, которая в точке касания имеет с графиком одну общую точку и совпадает с ним по направлению.

Для того чтобы прямая $y = 3x + 1$ была касательной к графику $f(x) = ax^2 + 2x + 3$, необходимо выполнение двух условий в некоторой точке $x_0$:

Условие 1 (совпадение направлений): производная функции в точке касания должна равняться угловому коэффициенту касательной.

Найдём производную: $f'(x) = 2ax + 2$

В точке касания: $f'(x_0) = 2ax_0 + 2 = 3$

Отсюда: $2ax_0 = 1$, то есть $ax_0 = 0,5$ — первое уравнение системы.

Условие 2 (совпадение значений): функция и касательная в точке касания должны быть равны.

$f(x_0) = 3x_0 + 1$

$ax_0^2 + 2x_0 + 3 = 3x_0 + 1$

$ax_0^2 - x_0 + 2 = 0$ — второе уравнение.

Решаем систему:

Из первого уравнения: $ax_0 = 0,5$, подставляем во второе:

$0,5x_0 - x_0 + 2 = 0$

$-0,5x_0 = -2$

$x_0 = 4$

Тогда: $a \cdot 4 = 0,5$, откуда $a = 0,125$.