Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

Задача требует найти производную сложной функции в конкретной точке.

Шаг 1. Найдём производную функции $g(x)$

Дано $g(x) = x^3 + f(x)$. По правилу суммы производных: $$g'(x) = 3x^2 + f'(x)$$

Чтобы найти $g'(x_0)$, нужны два слагаемых: значение $3x_0^2$ и значение $f'(x_0)$.

Шаг 2. Вычислим первое слагаемое

При $x_0 = -3$: $$3x_0^2 = 3 \cdot (-3)^2 = 3 \cdot 9 = 27$$

Шаг 3. Найдём $f'(x_0)$ из геометрического смысла производной

Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной: $f'(x_0) = k_{\text{кас}}$. Угловой коэффициент касательной — это тангенс угла наклона к оси абсцисс.

По рисунку касательная проходит через две точки, позволяя найти тангенс угла наклона. Из геометрии рисунка: при перемещении по касательной на 5 единиц вправо по оси $x$ происходит смещение на 1 единицу вниз по оси $y$. Следовательно: $$f'(-3) = -\frac{1}{5} = -0,2$$

Шаг 4. Вычислим итоговое значение

$$g'(x_0) = g'(-3) = 27 + (-0,2) = 26,8$$