Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

Нужно найти $g'(x_0)$ для функции $g(x) = 12f(x) + \frac{6}{13}$.

Шаг 1. Дифференцируем функцию g(x).

По правилу дифференцирования: производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель выносится из-под знака производной.

$$g'(x) = (12f(x))' + \left(\frac{6}{13}\right)' = 12f'(x) + 0 = 12f'(x)$$

Постоянное число $\frac{6}{13}$ даёт нулевую производную, поэтому оно исчезает.

Шаг 2. Найдём $f'(x_0)$ из геометрического смысла производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Из рисунка видно, что уравнение касательной имеет вид $y = -\frac{2}{3}x + b$ (или аналогичное с угловым коэффициентом $-\frac{2}{3}$).

Таким образом: $$f'(x_0) = -\frac{2}{3}$$

Шаг 3. Вычислим $g'(x_0)$.

Подставляем найденное значение производной в формулу:

$$g'(x_0) = 12 \cdot f'(x_0) = 12 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{24}{3} = -8$$