ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Геометрический смысл производной, касательная

Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

На рисунке изображены график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение функции g левая круглая скобка x правая круглая скобка =f' левая круглая скобка x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 в точке x0.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, а значение функции в этой точке снимается с графика — оба значения подставляются в формулу для вычисления g(x0)g(x_0).

Шаг 1. Найдём производную в точке касания.

Производная функции в точке касания численно равна угловому коэффициенту касательной прямой. По рисунку уравнение касательной имеет вид y=−14x+by = -\frac{1}{4}x + b (угловой коэффициент k=−14k = -\frac{1}{4}).

Следовательно: f′(x0)=−14f'(x_0) = -\frac{1}{4}

Шаг 2. Найдём значение функции в точке касания.

Точка касания лежит одновременно на графике функции f(x)f(x) и на прямой касательной. Из рисунка видно, что касательная пересекает ось yy при значении y=2y = 2, и точка касания находится при определённом x0x_0. Из геометрии рисунка (или подставляя в уравнение касательной) получаем: f(x0)=2f(x_0) = 2

Шаг 3. Вычислим g(x0)g(x_0).

Подставим найденные значения в формулу g(x0)=f′(x0)−f(x0)+3g(x_0) = f'(x_0) - f(x_0) + 3:

g(x0)=−14−2+3=−14+1=34=0,75g(x_0) = -\frac{1}{4} - 2 + 3 = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4} = 0,75

Типичные ошибки

  • Путают угловой коэффициент касательной с самим значением функции в точке касания
  • Ошибаются в знаке производной, читая угловой коэффициент с рисунка
  • Неправильно определяют значение f(x0)f(x_0) из графика или уравнения касательной
Непонятно?

Похожие задачи