Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

Нужно найти производную функции $g(x) = -5f(x) - \frac{2}{11}x + \ln 3$ в точке $x_0$.

Шаг 1. Найдём производную $g(x)$.

Производная суммы — это сумма производных. Берём производную каждого слагаемого:

• Производная $-5f(x)$ равна $-5f'(x)$ (константа выносится за знак производной)
• Производная $-\frac{2}{11}x$ равна $-\frac{2}{11}$ (производная линейной функции)
• Производная $\ln 3$ равна $0$ (это константа)

Получаем: $$g'(x) = -5f'(x) - \frac{2}{11}$$

Шаг 2. Найдём $f'(x_0)$ из уравнения касательной.

По геометрическому смыслу производной: значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Из рисунка видно уравнение касательной вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = \frac{4}{11}$.

Следовательно: $$f'(x_0) = \frac{4}{11}$$

Шаг 3. Подставим найденное значение в формулу для $g'(x_0)$.

$$g'(x_0) = -5 \cdot \frac{4}{11} - \frac{2}{11} = -\frac{20}{11} - \frac{2}{11} = -\frac{22}{11} = -2$$