ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Геометрический смысл производной, касательная

Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

На рисунке изображены график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Найдите значение производной функции g(x)  =  6f(x) − 3x в точке x0.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Производная композиции линейных функций находится по правилу дифференцирования, а затем подставляется значение f′(x0)f'(x_0), которое равно тангенсу угла наклона касательной к горизонтали.

Шаг 1. Найдём производную функции g(x).

Дано g(x)=6f(x)−3xg(x) = 6f(x) - 3x. Применим правила дифференцирования: производная суммы — это сумма производных, а постоянный множитель выносится за знак производной.

g′(x)=6f′(x)−3g'(x) = 6f'(x) - 3

Шаг 2. Определим f′(x0)f'(x_0) из графика.

Производная функции в точке имеет геометрический смысл: она равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику в этой точке. Угловой коэффициент касательной — это тангенс угла её наклона к оси абсцисс.

По рисунку видно, что касательная проходит через две точки. Найдём tan⁡α\tan\alpha как отношение изменения yy к изменению xx:

f′(x0)=tan⁡α=ΔyΔxf'(x_0) = \tan\alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x}

По графику касательная убывает (наклонена вниз влево), поэтому производная отрицательна. Из координат двух точек на касательной получаем:

f′(x0)=−23f'(x_0) = -\frac{2}{3}

Шаг 3. Вычислим g′(x0)g'(x_0).

Подставим найденное значение f′(x0)f'(x_0) в формулу для g′(x)g'(x):

g′(x0)=6⋅(−23)−3=−4−3=−7g'(x_0) = 6 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) - 3 = -4 - 3 = -7

Типичные ошибки

  • Забыли, что производная функции 6f(x)6f(x) это 6f′(x)6f'(x), а не 6+f′(x)6 + f'(x)
  • Неправильно вычислили тангенс угла наклона касательной (перепутали знак или неверно взяли отношение ∆y к ∆x)
  • Ошибка в арифметике при умножении 6⋅(−23)6 \cdot (-\frac{2}{3})
Непонятно?

Похожие задачи