Задача 525688. Геометрический смысл производной, касательная

Шаг 1. Найдём производную функции g(x).

Дано $g(x) = 6f(x) - 3x$. Применим правила дифференцирования: производная суммы — это сумма производных, а постоянный множитель выносится за знак производной.

$$g'(x) = 6f'(x) - 3$$

Шаг 2. Определим $f'(x_0)$ из графика.

Производная функции в точке имеет геометрический смысл: она равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику в этой точке. Угловой коэффициент касательной — это тангенс угла её наклона к оси абсцисс.

По рисунку видно, что касательная проходит через две точки. Найдём $\tan\alpha$ как отношение изменения $y$ к изменению $x$:

$$f'(x_0) = \tan\alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

По графику касательная убывает (наклонена вниз влево), поэтому производная отрицательна. Из координат двух точек на касательной получаем:

$$f'(x_0) = -\frac{2}{3}$$

Шаг 3. Вычислим $g'(x_0)$.

Подставим найденное значение $f'(x_0)$ в формулу для $g'(x)$:

$$g'(x_0) = 6 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) - 3 = -4 - 3 = -7$$