ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Геометрический смысл производной, касательная

Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

На рисунке изображены график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции g левая круглая скобка x правая круглая скобка =3f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби x минус 4 в точке x0.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Производная сложной функции вычисляется по правилам дифференцирования, а угловой коэффициент касательной — это значение производной исходной функции в точке касания.

Нужно найти производную функции g(x)=3f(x)+57x−4g(x) = 3f(x) + \frac{5}{7}x - 4 в точке x0x_0.

Шаг 1. Найдём g′(x)g'(x) по правилам дифференцирования:

  • производная суммы равна сумме производных;
  • постоянный множитель выносится за знак производной;
  • производная линейной функции 57x\frac{5}{7}x равна 57\frac{5}{7};
  • производная константы −4-4 равна 00.

Получаем: g′(x)=3f′(x)+57g'(x) = 3f'(x) + \frac{5}{7}

Шаг 2. Найдём f′(x0)f'(x_0). По геометрическому смыслу производной, значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной в этой точке. Из рисунка уравнение касательной имеет вид y=37x+by = \frac{3}{7}x + b (или эквивалентный). Угловой коэффициент k=37k = \frac{3}{7}, значит: f′(x0)=37f'(x_0) = \frac{3}{7}

Шаг 3. Подставим найденное значение в выражение для g′(x0)g'(x_0): g′(x0)=3⋅37+57=97+57=147=2g'(x_0) = 3 \cdot \frac{3}{7} + \frac{5}{7} = \frac{9}{7} + \frac{5}{7} = \frac{14}{7} = 2

Типичные ошибки

  • Забыли вычесть производную, считая, что g′(x)=3f′(x)−57g'(x) = 3f'(x) - \frac{5}{7} вместо +57+\frac{5}{7}
  • Неверно прочитали угловой коэффициент касательной с рисунка или перепутали его со свободным членом
  • Забыли умножить производную f′(x0)f'(x_0) на коэффициент 3 перед вычислением суммы
Непонятно?

Похожие задачи