Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

Нужно найти производную функции $g(x) = 9f(x) - \frac{2}{7}x + 7$ в точке $x_0$.

Шаг 1. Вычислим производную $g(x)$ по правилам дифференцирования.

Производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель выносится за знак производной: $$g'(x) = 9f'(x) - \frac{2}{7}$$

Постоянное слагаемое 7 исчезает (его производная равна нулю).

Шаг 2. Найдём $f'(x_0)$ из графика.

Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной в этой точке. Угловой коэффициент касательной — это тангенс угла, который касательная составляет с осью $x$: $$f'(x_0) = \tan\alpha$$

По рисунку касательная проходит через две точки, и из геометрии видно, что при перемещении на 7 единиц вправо, прямая поднимается на 1 единицу вверх. Поэтому: $$f'(x_0) = \frac{\text{подъём}}{\text{движение вправо}} = \frac{1}{7}$$

Шаг 3. Подставим в формулу для $g'(x_0)$.

$$g'(x_0) = 9 \cdot \frac{1}{7} - \frac{2}{7} = \frac{9}{7} - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} = 1$$