Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

Касательная к графику функции должна в точке касания совпадать с графиком и иметь одинаковый наклон. Это даёт нам два условия.

Шаг 1: Найдём производную функции.

Для функции $y = 3x^2 - 3x + c$ производная равна $y' = 6x - 3$.

Шаг 2: Приравняем производную к угловому коэффициенту касательной.

Угловой коэффициент прямой $y = 3x + 4$ равен 3. В точке касания производная функции должна равняться этому коэффициенту: $$6x - 3 = 3$$ $$6x = 6$$ $$x = 1$$

Это абсцисса точки касания.

Шаг 3: Приравняем значения функции и касательной в этой точке.

В точке $x = 1$ график функции и касательная должны пересекаться в одной точке, то есть их значения совпадают: $$3 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + c = 3 \cdot 1 + 4$$ $$3 - 3 + c = 7$$ $$c = 7$$

Проверка: при $c = 7$ функция имеет вид $y = 3x^2 - 3x + 7$, в точке $x = 1$ её значение $3 - 3 + 7 = 7$, а касательная в этой же точке даёт $3 + 4 = 7$. Производная в точке $x = 1$ равна $6 - 3 = 3$, что совпадает с наклоном касательной.