Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

Чтобы найти точку касания, используем условие касания: в этой точке значение производной функции равно угловому коэффициенту касательной.

Шаг 1: Найдём производную функции.

$y = x^3 + 7x^2 + 7x - 6$

$y' = 3x^2 + 14x + 7$

Шаг 2: Приравняем производную к угловому коэффициенту касательной.

Угловой коэффициент прямой $y = -4x - 11$ равен $-4$.

$3x^2 + 14x + 7 = -4$

$3x^2 + 14x + 11 = 0$

Решаем квадратное уравнение:

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 132}}{6} = \frac{-14 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-14 \pm 8}{6}$

Получаем: $x_1 = -1$ или $x_2 = -\frac{11}{3}$

Шаг 3: Проверим оба значения.

Подставляем в уравнение $x^3 + 7x^2 + 7x - 6 = -4x - 11$ (точка должна лежать и на графике, и на прямой).

Для $x = -1$:

$(-1)^3 + 7(-1)^2 + 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 7 - 6 = -7$

$-4(-1) - 11 = 4 - 11 = -7$ ✓

Для $x = -\frac{11}{3}$: подстановка показывает, что равенство не выполняется.

Ответ: −1