Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

Касательная к кривой в точке касания должна удовлетворять двум условиям: её угловой коэффициент равен производной функции в этой точке, и сама касательная проходит через точку кривой.

Дано: касательная $y = -5x + 8$ к графику $y = 28x^2 + bx + 15$.

Шаг 1. Найдём производную функции: $$y' = 56x + b$$

Шаг 2. В точке касания производная равна угловому коэффициенту касательной: $$56x + b = -5$$ Отсюда: $b = -5 - 56x$

Шаг 3. В точке касания функция и касательная принимают одинаковые значения: $$28x^2 + bx + 15 = -5x + 8$$

Шаг 4. Подставим выражение для $b$ из шага 2: $$28x^2 + (-5 - 56x) \cdot x + 15 = -5x + 8$$ $$28x^2 - 5x - 56x^2 + 15 = -5x + 8$$ $$-28x^2 - 5x + 15 = -5x + 8$$ $$-28x^2 = -7$$ $$x^2 = \frac{1}{4}$$ $$x = \pm \frac{1}{2}$$

Шаг 5. По условию абсцисса положительна, поэтому $x = 0,5$.

Шаг 6. Найдём $b$: $$b = -5 - 56 \cdot 0,5 = -5 - 28 = -33$$