Задача 562751. Геометрический смысл производной, касательная

Производная функции в точке имеет геометрический смысл: она равна тангенсу угла наклона касательной к графику в этой точке. Формально, $f'(x) = \tan(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.

Уравнение $f'(x) = 0$ означает, что $\tan(\alpha) = 0$, то есть угол наклона равен нулю. Это происходит только когда касательная горизонтальна — параллельна оси Ox.

На графике функции нужно найти точку, в которой касательная горизонтальна. Это точка экстремума функции (максимума или минимума), где график меняет направление с возрастания на убывание или наоборот.

По рисунку видно, что функция достигает локального экстремума в точке с абсциссой $x = 2$. В этой точке график имеет горизонтальную касательную.

Следовательно, $f'(2) = 0$, и ответ — корень уравнения равен 2.