Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Геометрический смысл производной, касательная

Используем геометрический смысл производной: значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.

По условию прямая касается графика в точке с абсциссой 8 и проходит через начало координат O(0; 0).

Так как касательная проходит через начало координат, её уравнение имеет вид $y = kx$, где $k$ — угловой коэффициент (искомая производная).

Из графика видно, что касательная проходит через точку (8; 10) — это точка касания на графике функции.

Подставляем координаты этой точки в уравнение касательной: $$10 = k \cdot 8$$

Решаем относительно $k$: $$k = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$$

Поскольку угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания: $$f'(8) = 1,25$$