ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Применение производной к исследованию функций

Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Применение производной к исследованию функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 83.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

На рисунке изображён график y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка    — производной функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка , определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка принимает наибольшее значение?

В подтеме 39 задач
Разбор
Главная идея: Если производная функции неположительна на отрезке, функция убывает, и её максимум находится на левой границе отрезка.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно проанализировать её поведение, опираясь на производную.

Шаг 1. Связь знака производной и монотонности. Если f′(x)≥0f'(x) \geq 0 на интервале — функция возрастает, если f′(x)≤0f'(x) \leq 0 — убывает. Это следует из определения производной: f′(x)f'(x) показывает скорость изменения значений функции.

Шаг 2. Анализ графика производной на отрезке [−3;2][-3; 2]. По условию, на графике изображена y=f′(x)y = f'(x). Рассматриваем интервал, соответствующий отрезку [−3;2][-3; 2]. Согласно краткому решению, производная здесь неположительна: f′(x)≤0f'(x) \leq 0 для всех x∈[−3;2]x \in [-3; 2].

Шаг 3. Вывод о монотонности. Так как производная неположительна на отрезке, функция f(x)f(x) убывает (или не возрастает) на [−3;2][-3; 2]. Это значит, что при движении слева направо значения функции только уменьшаются или остаются неизменными.

Шаг 4. Определение точки максимума. Для убывающей на отрезке функции наибольшее значение достигается на левой границе. Левая граница отрезка [−3;2][-3; 2] — это точка x=−3x = -3.

Ответ: −3-3

Типичные ошибки

  • Перепутать концы отрезка: максимум убывающей функции на левом конце, минимум на правом.
  • Не обратить внимание на знак производной на конкретном отрезке [−3;2][-3; 2] и рассматривать график на всей области определения.
  • Перепутать понятия: график производной и график самой функции — это разные кривые.
Непонятно?

Похожие задачи