Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Применение производной к исследованию функций

Чтобы найти точку максимума функции, нужно исследовать поведение её производной.

Шаг 1: Понимаем связь производной и экстремумов. Производная показывает скорость изменения функции. Когда $f'(x) > 0$, функция возрастает; когда $f'(x) < 0$ — убывает. Точка максимума — это место, где функция перестаёт расти и начинает падать, то есть производная меняет знак с плюса на минус.

Шаг 2: Анализируем график производной. Смотрим на рисунок графика $y = f'(x)$. Нужно найти абсциссу точки, где график пересекает ось $x$, переходя с положительных значений на отрицательные.

Шаг 3: Находим точку смены знака. По графику видно, что производная положительна (график выше оси $x$) на промежутке $(-6; -2)$ — здесь функция возрастает. В точке $x = -2$ график производной пересекает ось $x$. После этой точки на промежутке $(-2; 4)$ производная отрицательна (график ниже оси $x$) — функция убывает.

Шаг 4: Заключение. Точка $x = -2$ — это точка максимума функции $f(x)$, так как именно здесь происходит смена знака производной с положительного на отрицательный.