Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Применение производной к исследованию функций

Производная функции в любой точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику в этой точке. Угловой коэффициент — это тангенс угла, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс.

Шаг 1. Определяем знак производной в каждой точке.

Посмотрим на наклон касательных:

• В точке $x = -2$: касательная имеет положительный наклон (идёт вверх слева направо), поэтому $f'(-2) > 0$
• В точке $x = -1$: касательная имеет отрицательный наклон (идёт вниз), поэтому $f'(-1) < 0$
• В точке $x = 1$: касательная имеет положительный наклон, поэтому $f'(1) > 0$
• В точке $x = 4$: касательная имеет отрицательный наклон, поэтому $f'(4) < 0$

Шаг 2. Сравниваем только отрицательные производные.

Наименьшее значение (самое отрицательное) может быть только среди точек, где производная отрицательна. Это точки $x = -1$ и $x = 4$.

Шаг 3. Сравниваем крутизну наклона.

В точке $x = 4$ касательная падает намного круче, чем в точке $x = -1$. Это означает, что угол наклона касательной в точке 4 больше по модулю, следовательно, $|\tan \alpha_4| > |\tan \alpha_{-1}|$.

Поскольку оба тангенса отрицательны, $\tan \alpha_4 < \tan \alpha_{-1}$ (более отрицательное число меньше).

Ответ: в точке $x = 4$ производная принимает наименьшее значение.