Задача 27502. Применение производной к исследованию функций

На графике производной ищем точки, где $f'(x) = 0$ — это пересечения графика с осью абсцисс. В интервале (−4; 8) таких точек может быть несколько, но нас интересует только отрезок [−2; 6].

На этом отрезке график производной пересекает ось абсцисс в точке $x = 4$. Это означает, что $f'(4) = 0$.

Чтобы убедиться, что это экстремум, проверяем смену знака производной:

• При $x < 4$ (например, в точке 3) производная положительна: $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
• При $x > 4$ (например, в точке 5) производная отрицательна: $f'(x) < 0$. Функция убывает.

Производная меняет знак с плюса на минус, значит, по определению экстремума функция достигает в точке $x = 4$ локального максимума.

Так как это единственная критическая точка на отрезке [−2; 6], где производная обнуляется и меняет знак, ответ: $x = 4$.