Задача 27494. Применение производной к исследованию функций

Шаг 1. Определим связь между производной и экстремумами

Производная показывает скорость изменения функции. Точка максимума — это то место, где функция прекращает расти и начинает убывать. В таком месте производная меняет знак с положительного на отрицательный.

Шаг 2. Найдем нулевые точки производной на отрезке [−6; 9]

На графике производной нулевые точки — это пересечения с осью абсцисс. Это точки, где $f'(x) = 0$. На нашем отрезке таких точек несколько.

Шаг 3. Проверим знак производной слева и справа от каждой нулевой точки

Для каждой нулевой точки проверяем:

• Если график производной переходит с положительных значений (выше оси x) на отрицательные (ниже оси x), то в этой точке максимум функции f(x).
• Если производная меняет знак с минуса на плюс, то это минимум.
• Если производная не меняет знак, то экстремума нет.

Шаг 4. Подсчитаем точки максимума на [−6; 9]

Просмотрев график на указанном отрезке, видим, что производная переходит с положительного значения на отрицательное только в одной точке — при $x = 7$. Это единственная точка максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].