Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Применение производной к исследованию функций

Точки минимума функции связаны с поведением её производной. Если производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через некоторую точку, то в этой точке функция достигает локального минимума.

Это происходит потому, что когда $f'(x) < 0$, функция убывает, а когда $f'(x) > 0$ — возрастает. На границе этого перехода функция перестаёт падать и начинает расти, что и означает минимум.

Внимательно смотрим на график производной и отмечаем все промежутки на отрезке $[-13; 1]$:

• На участке $[-13; -9)$ производная отрицательна, значит $f(x)$ убывает
• В точке $x = -9$ график производной пересекает ось абсцисс
• На участке $(-9; 1]$ производная положительна, значит $f(x)$ возрастает

Таким образом, при $x = -9$ происходит ровно один переход с $f'(x) < 0$ на $f'(x) > 0$, что означает ровно одну точку минимума на данном отрезке. Других переходов такого типа на $[-13; 1]$ не наблюдается.