Задача 27496. Применение производной к исследованию функций

Точка экстремума функции — это точка, где она переходит от возрастания к убыванию или наоборот. Признак экстремума связан с производной: функция имеет экстремум в точке $x_0$, если производная $f'(x)$ меняет знак при переходе через эту точку.

Чтобы найти количество экстремумов, нужно на графике производной найти все точки, где график пересекает ось абсцисс (оси $x$). В этих точках $f'(x) = 0$.

Но не каждый нуль производной — это экстремум. Важно, что производная должна менять знак: слева и справа от нуля она должна иметь противоположные знаки. Если график производной пересекает ось горизонтально (касается и не пересекает), то знака нет.

По графику видно, что производная пересекает ось $x$ в точках $x = -6, -2, 2, 6, 9$.

Проверим смену знака в каждой:

• При $x = -6$: слева $f'(x) > 0$, справа $f'(x) < 0$ ✓
• При $x = -2$: слева $f'(x) < 0$, справа $f'(x) > 0$ ✓
• При $x = 2$: слева $f'(x) > 0$, справа $f'(x) < 0$ ✓
• При $x = 6$: слева $f'(x) < 0$, справа $f'(x) > 0$ ✓
• При $x = 9$: слева $f'(x) > 0$, справа $f'(x) < 0$ ✓

Все пять точек находятся в отрезке $[-10; 10]$, и все являются экстремумами.