ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Применение производной к исследованию функций

Задача 119971. Применение производной к исследованию функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 83.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

В подтеме 39 задач
Разбор
Главная идея: Производная функции равна нулю в точках локальных экстремумов, где график имеет горизонтальную касательную (переходит от возрастания к убыванию или наоборот).

Производная функции равна нулю в точках, где график функции имеет горизонтальную касательную. Геометрически это означает, что в этих точках функция переходит от возрастания к убыванию или наоборот — то есть в точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов).

Рассмотрим график функции y=f(x)y = f(x) на интервале (−3;9)(-3; 9):

  1. Определяем точки экстремумов — это точки, где график достигает локальных вершин или впадин.

  2. Считаем количество таких точек: функция имеет экстремумы в точках x=−2x = -2 (локальный максимум), x=−1x = -1 (локальный минимум), x=1x = 1 (локальный максимум), x=4x = 4 (локальный минимум) и x=6x = 6 (локальный максимум).

  3. Применяем свойство производной: в каждой из этих пяти точек касательная к графику горизонтальна, следовательно, f′(x)=0f'(x) = 0.

Точки на границах интервала (в точках x=−3x = -3 и x=9x = 9) не включаются, так как функция определена на открытом интервале.

Ответ: производная равна нулю в 5 точках.

Типичные ошибки

  • Забывают, что интервал открытый, и пытаются включить граничные точки x=−3x = -3 и x=9x = 9
  • Считают точки, где график просто имеет излом или заострение, забывая, что там производная не существует, а не равна нулю
  • Путают точки экстремума с точками пересечения графика с осью абсцисс

Ещё задачи этой подтемы