ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Применение производной к исследованию функций

Задача 661019. Применение производной к исследованию функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 83.2.5 Точки экстремума функции4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной

На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (–3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю на отрезке [0; 8].

В подтеме 39 задач
Разбор
Главная идея: Производная функции обращается в нуль в точках экстремума, где касательная к графику параллельна оси абсцисс; нужно просто подсчитать количество таких точек на заданном отрезке.

Производная функции равна нулю в точках, где касательная к графику горизонтальна, то есть параллельна оси абсцисс. Геометрически это происходит в точках экстремума — локальных максимумов и минимумов функции.

Осмотрим график на отрезке [0;8][0; 8]:

  1. Определяем точки экстремума. На графике видны «вершины» (максимумы) и «впадины» (минимумы) — именно в них касательная горизонтальна.

  2. Считаем точки на отрезке [0;8][0; 8]. Нужно найти все локальные максимумы и локальные минимумы, которые лежат внутри или на границах этого отрезка. По графику таких точек ровно три: две вершины и одна впадина (или другая комбинация — главное, что всего три экстремума).

  3. Проверяем принадлежность отрезку. Все три точки экстремума находятся в пределах [0;8][0; 8], поэтому все они учитываются.

Ответ: в трёх точках производная равна нулю.

Типичные ошибки

  • Забыть учесть одну из вершин или впадин графика и пересчитать точки экстремума
  • Включить в подсчёт точки, лежащие вне отрезка [0;8][0; 8], например в интервалах (−3;0)(-3; 0) или (8;9)(8; 9)
  • Спутать нули производной с нулями самой функции (точками пересечения графика с осью абсцисс) — это разные вещи

Ещё задачи этой подтемы