Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Применение производной к исследованию функций

Уравнение $f'(x) = 0$ имеет решения в точках, где производная функции равна нулю. Геометрически это означает, что касательная к графику функции в этой точке горизонтальна (параллельна оси абсцисс).

Производная обращается в нуль в точках экстремума — это локальные максимумы и минимумы функции, где график меняет направление с возрастания на убывание или наоборот.

Задача требует найти количество таких точек на отрезке $[4; 9]$.

Смотрим на график функции в промежутке от 4 до 9 включительно:

• в некоторой точке между 4 и 5 график достигает локального максимума (функция перестает возрастать и начинает убывать)
• в точке примерно между 6 и 7 находится локальный минимум (функция перестает убывать и начинает возрастать)
• в точке примерно между 8 и 9 расположен еще один локальный максимум (функция снова переходит от возрастания к убыванию)

Каждой точке экстремума соответствует одно решение уравнения $f'(x) = 0$. Таким образом, на отрезке $[4; 9]$ всего три таких точки.