Задача 317543. Применение производной к исследованию функций

Производная функции в конкретной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику в этой точке. Угловой коэффициент — это тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси $x$.

Шаг 1. Мысленно или визуально проводим касательные к графику в каждой из четырёх точек: $x = -2, -1, 1, 2$.

Шаг 2. Проанализируем знак производной:

• В точках $x = -2$ и $x = 2$ касательная наклонена вверх (слева направо), поэтому $f'(x) > 0$.
• В точках $x = -1$ и $x = 1$ касательная наклонена вниз или горизонтальна, значит $f'(x) \leq 0$.

Сразу исключаем $x = -1$ и $x = 1$: наибольшее значение производной должно быть положительным.

Шаг 3. Сравниваем углы наклона касательных в точках $x = -2$ и $x = 2$:

• При $x = -2$ касательная поднимается под большим углом к оси $x$.
• При $x = 2$ касательная поднимается под меньшим углом.

Чем больше угол наклона, тем больше его тангенс, а значит, больше производная.

Вывод: Наибольшее значение производной в точке $x = -2$.