Задача 505119. Применение производной к исследованию функций

Производная показывает, как ведёт себя функция: где $f'(x) > 0$, функция растёт, где $f'(x) < 0$ — убывает.

Шаг 1: Определяем промежутки монотонности. По графику производной видим:

• На $[-5; -3]$: $f'(x) > 0$ → функция возрастает
• На $[-3; 3]$: $f'(x) < 0$ → функция убывает
• На $[3; 5]$: $f'(x) > 0$ → функция возрастает

Шаг 2: Определяем критические точки. Производная равна нулю в точках $x = -3$ и $x = 3$. Это точки экстремума: в $x = -3$ — локальный максимум (функция меняет возрастание на убывание), в $x = 3$ — локальный минимум (функция меняет убывание на возрастание).

Шаг 3: Где может находиться глобальный минимум? Наименьшее значение на отрезке $[-5; 5]$ достигается либо в концах, либо в точке локального минимума. Кандидаты: $x = -5$, $x = 3$ или $x = 5$.

Шаг 4: Сравниваем значения.

• На $[3; 5]$ функция возрастает, поэтому $f(3) < f(5)$
• По условию: $f(-5) \geq f(5)$
• Следовательно: $f(-5) > f(3)$ и $f(5) > f(3)$

Таким образом, наименьшее значение — в точке $x_0 = 3$.