Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Применение производной к исследованию функций

Вспомним связь между производной и экстремумами функции. Точка $x_0$ является точкой минимума функции $f(x)$, если в этой точке производная $f'(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный.

Почему? Когда $f'(x) < 0$ слева от $x_0$, функция убывает. Когда $f'(x) > 0$ справа от $x_0$, функция возрастает. Значит, $x_0$ — это самая низкая точка на данном участке.

Посмотрим на график производной $y = f'(x)$:

• Слева от точки $x = 4$ график $f'(x)$ находится ниже оси абсцисс, то есть $f'(x) < 0$
• Справа от точки $x = 4$ график $f'(x)$ находится выше оси абсцисс, то есть $f'(x) > 0$
• В точке $x = 4$ график пересекает ось $x$, то есть $f'(4) = 0$

Таким образом, $x = 4$ — это единственная точка на интервале $(−5; 5)$, где происходит смена знака производной с минуса на плюс. Это и есть точка минимума функции $f(x)$.