Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Применение производной к исследованию функций

Вспомни главное правило для поиска экстремумов функции через производную:

1. Точки минимума — это точки, где производная меняет знак с отрицательного на положительный (функция перестаёт убывать и начинает возрастать).

2. Точки максимума — это точки, где производная меняет знак с положительного на отрицательный (функция перестаёт возрастать и начинает убывать).

3. На графике производной $y = f'(x)$ нужно найти все точки пересечения с осью абсцисс (нули производной) — в них происходят смены знака.

4. Посмотри, где на графике производная пересекает ось $x$ в пределах интервала $(1; 10)$. Обозначим эти точки.

5. Для каждой точки пересечения проверь поведение графика:

   • Если график идёт снизу вверх через ось (то есть $f'(x)$ меняется с отрицательного на положительный), то это точка минимума исходной функции $f(x)$.
   • Если график идёт сверху вниз через ось (то есть $f'(x)$ меняется с положительного на отрицательный), то это точка максимума.

6. На графике видно, что на интервале $(1; 10)$ производная пересекает ось абсцисс в точке $x = 9$, и в этой точке происходит переход с отрицательных значений на положительные.

Это и есть единственная точка минимума функции $f(x)$ на данном интервале.