Задача 551781. Применение производной к исследованию функций

Шаг 1: Связь производной и монотонности. Функция убывает на тех промежутках, где её производная неположительна (то есть $f'(x) \leq 0$). Это фундаментальное свойство: знак производной определяет, растёт или падает функция.

Шаг 2: Определение промежутков убывания по графику. Смотрим на график производной. Нужно найти все участки, где кривая находится на оси $x$ или ниже неё (где $f'(x) \leq 0$). По описанию решения это промежутки $(-5; -3,5]$ и $[3,5; 6)$.

Шаг 3: Расширение промежутков за счёт непрерывности. Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на $[-5; 6]$, промежутки, где $f'(x) \leq 0$, можно замкнуть в конечных точках. Таким образом, функция убывает на отрезках $[-5; -3,5]$ и $[3,5; 6]$.

Шаг 4: Выписываем целые точки. В отрезок $[-5; -3,5]$ входят целые числа: $-5, -4$. В отрезок $[3,5; 6]$ входят целые числа: $4, 5, 6$.

Шаг 5: Вычисляем сумму. $$(-5) + (-4) + 4 + 5 + 6 = -9 + 15 = 6$$