Задача 500248. Применение производной к исследованию функций

Решение основано на связи между поведением функции и знаком её производной.

Шаг 1: Вспомним, что означает знак производной

Если функция возрастает на некотором промежутке, то $f'(x) > 0$ в каждой точке этого промежутка. Если функция убывает, то $f'(x) < 0$. В точках экстремума (максимум или минимум) $f'(x) = 0$.

Шаг 2: Анализируем поведение функции в каждой из девяти точек

Посмотрим на график слева направо:

• В точках $x_1, x_2$ график идёт вверх — функция возрастает, поэтому $f'(x_1) > 0$ и $f'(x_2) > 0$.
• В точке $x_3$ график достигает локального максимума — это точка экстремума, здесь $f'(x_3) = 0$.
• В точках $x_4, x_5$ график идёт вниз — функция убывает, поэтому $f'(x_4) < 0$ и $f'(x_5) < 0$.
• В точке $x_6$ график достигает локального минимума — это точка экстремума, здесь $f'(x_6) = 0$.
• В точках $x_7, x_8$ график идёт вверх — функция возрастает, поэтому $f'(x_7) > 0$ и $f'(x_8) > 0$.
• В точке $x_9$ график идёт вниз — функция убывает, поэтому $f'(x_9) < 0$.

Шаг 3: Подсчитаем точки, где производная отрицательна

Ищем все точки, где функция убывает: это $x_4$, $x_5$ и $x_9$.

Ответ: 3 точки.