ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Применение производной к исследованию функций

Задача 508348. Применение производной к исследованию функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (–3; 9). Найдите количество решений уравнения f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = 0 на отрезке [0; 8].

В подтеме 39 задач
Разбор
Главная идея: Нули производной находятся в точках, где касательная к графику функции горизонтальна — это точки локальных экстремумов.

Нули производной функции геометрически соответствуют точкам, в которых касательная к графику горизонтальна, то есть параллельна оси Ox.

Производная f′(x)=0f'(x) = 0 в точках экстремума (локальных максимумов и минимумов) и в точках перегиба с горизонтальной касательной.

Задача требует найти количество таких точек на отрезке [0;8][0; 8]. Для этого нужно внимательно изучить поведение графика на этом интервале и определить, в скольких местах функция имеет локальные максимумы или минимумы.

Внутри отрезка [0;8][0; 8] такие точки расположены при x=1x = 1 (локальный максимум), x=4x = 4 (локальный минимум) и x=6x = 6 (локальный максимум).

В каждой из этих трёх точек касательная горизонтальна, следовательно, производная обращается в нуль ровно три раза.

Ответ: количество решений уравнения f′(x)=0f'(x) = 0 на отрезке [0;8][0; 8] равно 3.

Типичные ошибки

  • Подсчёт концевых точек отрезка как точек, где производная равна нулю (производную можно искать только на открытых интервалах или внутри отрезка)
  • Учёт точек, лежащих вне отрезка [0;8][0; 8], например экстремумов при x<0x < 0 или x>8x > 8
  • Ошибка при определении характера критических точек — не все точки с нулевой производной видны на графике одинаково ясно, нужно внимательное наблюдение

Ещё задачи этой подтемы