ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Применение производной к исследованию функций

Задача 551783. Применение производной к исследованию функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 83.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной

Функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка определена и непрерывна на полуинтервале левая квадратная скобка минус 4; 5 правая круглая скобка . На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

В подтеме 39 задач
Разбор
Главная идея: Промежутки возрастания функции соответствуют промежуткам, где производная неотрицательна; нужно найти целые точки в этом промежутке и сложить их.

Функция возрастает на тех промежутках, где её производная положительна или равна нулю.

Шаг 1. Анализируем график производной f′(x)f'(x). По условию, производная изображена на рисунке. Нужно найти, на каких промежутках f′(x)≥0f'(x) \geq 0.

Шаг 2. Из графика видно, что f′(x)≥0f'(x) \geq 0 на интервале (−1;5)(-1; 5). Это означает, что производная неотрицательна на этом промежутке (она может обращаться в ноль в отдельных точках, но не становится отрицательной).

Шаг 3. Поскольку функция f(x)f(x) непрерывна на [−4;5)[-4; 5), а её производная неотрицательна на (−1;5)(-1; 5), функция возрастает на полуинтервале [−1;5)[-1; 5). Левая граница включается благодаря непрерывности.

Шаг 4. Выписываем все целые числа, которые лежат в полуинтервале [−1;5)[-1; 5): −1,0,1,2,3,4-1, 0, 1, 2, 3, 4

Заметим: точка 5 не входит, так как промежуток открыт справа.

Шаг 5. Находим сумму: −1+0+1+2+3+4=9-1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 9

Типичные ошибки

  • Забыли включить точку x=−1x = -1 в промежуток возрастания из-за непрерывности функции
  • Включили правую границу x=5x = 5 в список целых точек, хотя промежуток открыт справа
  • Неправильно определили промежуток, где f′(x)≥0f'(x) \geq 0, по графику производной

Ещё задачи этой подтемы