ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Применение производной к исследованию функций

Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Применение производной к исследованию функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 83.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

На рисунке изображён график функции y  =  f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

В подтеме 39 задач
Разбор
Главная идея: Производная отрицательна именно на участках убывания функции — нужно найти все отмеченные точки, которые лежат там, где график идёт вниз.

Используем геометрический смысл производной: если функция убывает на некотором участке, то её производная в точках этого участка отрицательна.

Шаг 1. Вспомним связь производной и монотонности. Производная f′(x)<0f'(x) < 0 означает, что функция убывает в этой точке — график идёт вниз слева направо.

Шаг 2. Визуально определим, на каких участках функция убывает. Проходя по графику слева направо, смотрим, где линия опускается вниз.

Шаг 3. Найдём точки, лежащие на убывающих участках. Из семи отмеченных точек выбираем те, которые находятся там, где функция идёт вниз. Это точки x3x_3, x4x_4 и x7x_7.

Шаг 4. Проверим, не совпадают ли эти точки с экстремумами. Если точка стоит в локальном максимуме или минимуме, то производная в ней равна нулю, а не отрицательна. Убеждаемся, что x3x_3, x4x_4 и x7x_7 — строго внутри убывающих участков, не в вершинах.

Ответ: 3 точки.

Типичные ошибки

  • Забывают, что в точках экстремума (максимум, минимум) производная равна нулю, а не отрицательна — такие точки не считаются
  • Ошибочно включают точки на возрастающих участках, где производная положительна
  • Путают знак производной со знаком самой функции: если f(x)<0f(x) < 0, это не значит, что f′(x)<0f'(x) < 0
Непонятно?

Похожие задачи