ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Применение производной к исследованию функций

Задача 551782. Применение производной к исследованию функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 83.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной

Функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка определена и непрерывна на полуинтервале левая квадратная скобка минус 4; 5 правая круглая скобка . На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

В подтеме 39 задач
Разбор
Главная идея: Функция убывает там, где её производная отрицательна; нужно найти все целые числа в этом промежутке и сложить их.

Шаг 1. Связь производной и монотонности

Функция убывает на тех промежутках, где её производная отрицательна (или неположительна). Это основной принцип: знак производной определяет направление изменения функции.

Шаг 2. Читаем график производной

По графику f′(x)f'(x) видно, что производная отрицательна на интервале (−4;−1)(-4; -1). На этом промежутке график производной расположен ниже оси абсцисс.

Шаг 3. Определяем промежуток убывания

Поскольку функция f(x)f(x) непрерывна на [−4;5)[-4; 5), и производная неположительна на (−4;−1)(-4; -1), функция убывает на замыкании этого интервала — на отрезке [−4;−1][-4; -1]. Включаем граничные точки благодаря непрерывности.

Шаг 4. Находим целые точки

На отрезке [−4;−1][-4; -1] целые числа: −4,−3,−2,−1-4, -3, -2, -1.

Шаг 5. Вычисляем сумму

−4+(−3)+(−2)+(−1)=−10-4 + (-3) + (-2) + (-1) = -10

Типичные ошибки

  • Забыть включить граничные точки −4-4 и −1-1 в промежуток убывания (они входят благодаря непрерывности)
  • Неправильно прочитать график производной и выбрать интервал, где она положительна, вместо отрицательной
  • Найти промежуток убывания, но забыть просуммировать целые точки или ошибиться в арифметике при их сложении

Ещё задачи этой подтемы