Задание 17 ЕГЭ (профиль): вписанные окружности и треугольники — гайд по планиметрии

О чём эта подтема

Задание 17 профильного ЕГЭ — планиметрическая задача из двух пунктов: «докажите» и «найдите». В подтеме «вписанные окружности и треугольники» чаще всего фигурируют: инцентр (центр вписанной окружности) и его свойства, касательные отрезки от вершин, связь вписанной и описанной окружностей одного треугольника, а также дополнительные точки, построенные через центр вписанной окружности (продолжения биссектрис, точки на описанной окружности и т.п.). Стандартный сценарий: в пункте а) нужно доказать какое-то геометрическое свойство (вписанность четырёхугольника, прямой угол, равенство отрезков), а в пункте б) — вычислить длину или расстояние, используя это свойство и данные радиусы. Такие задачи редко решаются «в лоб» через координаты — гораздо быстрее работают несколько ключевых теорем и лемм, которые стоит знать наизусть.

Что нужно знать

1. Инцентр и касательные отрезки. Центр вписанной окружности $O$ (иногда обозначают $I$) — точка пересечения биссектрис треугольника. Если окружность касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках, а полупериметр треугольника равен $s=\dfrac{a+b+c}{2}$, то отрезок от вершины $A$ до точки касания на прилежащих сторонах равен $s-a$, от вершины $B$ — $s-b$, от вершины $C$ — $s-c$ (здесь $a,b,c$ — стороны, противолежащие соответствующим вершинам).

2. Площадь через радиусы. $S=rs$ (через вписанный радиус), $S=\dfrac{abc}{4R}$ (через описанный радиус), формула Герона $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$. Отсюда полезное следствие: $r^2=\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}$.

3. Угол между биссектрисами. Если $O$ — инцентр, то $\angle BOC = 90^\circ+\dfrac{A}{2}$.

4. Лемма о трезубце (лемма Архимеда). Пусть биссектриса угла $A$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ вторично в точке $M$. Тогда $M$ равноудалена от $B$, $C$ и от инцентра $O$: $MB=MC=MO$. Это одна из самых полезных лемм для задания 17: она мгновенно даёт доказательство вписанности четырёхугольников и подсказывает, где искать нужную точку.

5. Связь отрезков биссектрисы. Для той же точки $M$ верно: $AI\cdot IM=2Rr$, где $R$ — радиус описанной, $r$ — радиус вписанной окружности, $I$ — инцентр. Формула выводится из $AI=\dfrac{r}{\sin(A/2)}$ и $IM=MB=2R\sin(A/2)$.

6. Формула Эйлера. Расстояние $d$ между центром вписанной и центром описанной окружности одного треугольника: $$d^2=R^2-2Rr=R(R-2r).$$ Отсюда неравенство Эйлера $R\ge 2r$ — удобный способ проверить численный ответ.

7. Признаки вписанного четырёхугольника. Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна $180^\circ$, либо когда два угла, опирающиеся на один и тот же отрезок с одной стороны от него, равны.

8. Прямоугольный треугольник. Гипотенуза — диаметр описанной окружности: $R=\dfrac{c}{2}$ (где $c$ — гипотенуза), а $r=\dfrac{a+b-c}{2}$.

Как решать: метод и алгоритм

1. Сделать аккуратный чертёж, отметить все данные: радиусы, точки касания, дополнительные построенные точки.
2. Ввести обозначения: стороны $a,b,c$, полупериметр $s$, углы $A,B,C$; если есть точка касания — сразу выразить касательные отрезки через $s-a$, $s-b$, $s-c$.
3. В пункте «докажите» искать один из типовых путей:

• через равенство вписанных углов, опирающихся на одну дугу;
• через сумму противоположных углов четырёхугольника;
• через лемму о трезубце, если в условии есть точка на продолжении биссектрисы с условием равенства отрезков (это почти всегда сигнал к применению леммы);
• через теорему, обратную теореме Пифагора, если стороны выражаются через один параметр (часто через радиус или касательные).

4. В пункте «найдите» подобрать формулу, связывающую известные величины с искомой: формулу Герона, $S=rs$, $S=\dfrac{abc}{4R}$, лемму $AI\cdot IM=2Rr$, формулу Эйлера $d^2=R(R-2r)$, теорему синусов $\dfrac{a}{\sin A}=2R$.
5. Если доказана связь треугольника с прямым углом — сразу использовать свойства прямоугольного треугольника (гипотенуза = диаметр).
6. Подставить числа, довести до ответа, проверить на непротиворечивость: длины положительны, выполняется неравенство треугольника, $R\ge 2r$.

Разбор примера

Пример 1. Точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. На продолжении $AO$ за точку $O$ отмечена точка $K$ так, что $BK=OK$. а) Докажите, что $ABKC$ — вписанный четырёхугольник. б) Найдите $AO$, если $r=3$, $R=12$, $OK=5$.

Пункт а). Рассмотрим точку $M$ — вторую точку пересечения луча $AO$ с описанной окружностью треугольника $ABC$. Докажем, что $MB=MO$.

Угол $\angle MBC=\angle MAC=\dfrac{A}{2}$ (вписанные углы опираются на одну дугу $MC$, так как $AM$ — биссектриса угла $A$). Угол $\angle BOM$ — внешний угол треугольника $ABO$ при вершине $O$, значит $\angle BOM=\angle OAB+\angle OBA=\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}$. С другой стороны, $\angle OBM=\angle OBC+\angle CBM=\dfrac{B}{2}+\dfrac{A}{2}$ (так как $\angle CBM=\angle CAM=\dfrac{A}{2}$ — вписанные углы на дугу $CM$). Значит $\angle OBM=\angle BOM$, треугольник $BOM$ равнобедренный, $MB=MO$.

Точка $K$ по условию лежит на том же луче $AO$ за точкой $O$ и удовлетворяет $BK=OK$ — тому же свойству, что и $M$. На луче $AO$ за точкой $O$ существует единственная точка с таким свойством, значит $K=M$. Следовательно, $K$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, а значит четырёхугольник $ABKC$ вписан.

Пункт б). Так как $K=M$ — точка пересечения биссектрисы $AO$ с описанной окружностью, применима формула $AO\cdot OK=2Rr$ (это и есть равенство $AI\cdot IM=2Rr$ из раздела теории). Подставляем известные значения: $$AO\cdot 5=2\cdot 12\cdot 3=72 \;\Rightarrow\; AO=\dfrac{72}{5}=14{,}4.$$

Ответ: $AO=14{,}4$.

Пример 2. В треугольник $ABC$ вписана окружность радиуса $R$, касающаяся $AC$ в точке $M$, причём $AM=2R$, $CM=3R$. а) Докажите, что треугольник прямоугольный. б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей при $R=2$.

Пункт а). Пусть касательный отрезок из вершины $B$ равен $x$. По свойству касательных из одной точки: $AM=s-a=2R$ (где $a=BC$), $CM=s-c=3R$ (где $c=AB$), а касательная из $B$ равна $s-b=x$, где $b=AC=AM+MC=5R$.

Полупериметр: $s=(s-a)+(s-b)+(s-c)=2R+x+3R=5R+x$.

Используем $r^2=\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}$, где $r=R$ — данный вписанный радиус: $$R^2=\dfrac{2R\cdot x\cdot 3R}{5R+x} \;\Rightarrow\; R^2(5R+x)=6R^2x \;\Rightarrow\; 5R+x=6x \;\Rightarrow\; x=R.$$

Тогда $s=6R$, стороны: $$a=s-2R=4R,\quad c=s-3R=3R,\quad b=5R.$$

Проверяем: $a^2+c^2=16R^2+9R^2=25R^2=b^2$. По теореме, обратной теореме Пифагора, угол при вершине $B$ (противолежащий стороне $b$) прямой. Треугольник прямоугольный, что и требовалось доказать.

Пункт б). При $R=2$ (это вписанный радиус, обозначим $r=2$) стороны: $a=8$, $b=10$, $c=6$. Так как треугольник прямоугольный с гипотенузой $b=10$, описанный радиус равен половине гипотенузы: $R_{\text{опис}}=\dfrac{b}{2}=5$.

Применяем формулу Эйлера: $d^2=R_{\text{опис}}(R_{\text{опис}}-2r)=5\cdot(5-4)=5$, откуда $d=\sqrt5$.

Ответ: $\sqrt5$.

Типичные ошибки

• Путают, какой радиус вписанный, а какой описанный, особенно когда в условии буквой $R$ обозначен именно вписанный радиус (как в примере 2) — важно всегда явно фиксировать, что есть что, до начала вычислений.
• Неверно сопоставляют касательные отрезки со сторонами: путают $s-a$ и $s-b$, забывают, что касательная от вершины $A$ равна $s-a$, а не $s$ минус противолежащая сторона в другом порядке.
• Применяют лемму о трезубце без проверки, что точка действительно является пересечением биссектрисы именно с описанной окружностью (а не произвольной точкой с похожим условием).
• Забывают доказать единственность точки с нужным свойством на луче, из-за чего доказательство «$K=M$» выглядит неполным.
• Пропускают проверку неравенства Эйлера $R\ge 2r$ — а ведь если после вычислений оно нарушается, это сигнал об ошибке.
• В пункте «докажите» сразу переходят к численным выкладкам, не оформляя логическую цепочку рассуждений — на экзамене это может стоить баллов даже при верном ответе в пункте б).
• Не проверяют совместимость данных: если по условию задан прямой угол или доказывается прямоугольность, полезно сразу же проверить сумму квадратов сторон как самоконтроль.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как решать пункт б), убедитесь, что пункт а) действительно доказан полностью — часто вторая часть напрямую опирается на утверждение первой (как в обоих разобранных примерах: без доказательства принадлежности точки описанной окружности или без доказательства прямого угла числовой ответ не обоснован). Держите под рукой список ключевых формул: касательные отрезки $s-a,s-b,s-c$, лемму о трезубце с равенством $AI\cdot IM=2Rr$, формулу Эйлера $d^2=R(R-2r)$ и свойства прямоугольного треугольника. Эти инструменты закрывают большинство задач подтемы за несколько строк вычислений вместо громоздких координатных методов. Всегда делайте отдельный аккуратный чертёж для пункта а) и для пункта б), если данные меняются — это снижает число ошибок при переносе обозначений. И обязательно в конце проверяйте ответ на разумность: положительность длин, выполнение неравенства треугольника и неравенства Эйлера.