Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Достроим полуокружность до полной окружности с диаметром $KM$. Прямая $PS$ пересекает эту окружность в точках $T$ и $B$: точка $S$ лежит на диаметре $KM$, значит окружность симметрична относительно прямой $KM$, и второе пересечение $B$ находится по другую сторону от $KM$ на том же расстоянии $ST=6$. Тогда $PT=PS-TS=8-6=2$, а $PB=PS+SB=8+6=14$.

По теореме о произведении отрезков секущей (степень точки $P$ относительно окружности): $$PT\cdot PB=PL\cdot PK,$$ где $L$ — точка пересечения окружности со стороной $PK$.

Треугольники $PHL$ и $PKS$ подобны (прямой угол при $L$ и $S$, общий угол $P$), значит $$\frac{PH}{PK}=\frac{PL}{PS}\ \Rightarrow\ PL\cdot PK=PH\cdot PS.$$

Сравнивая, получаем $PH\cdot PS=PT\cdot PB$, то есть $$PH\cdot 8=2\cdot14=28\ \Rightarrow\ PH=3{,}5.$$

б) Диаметр окружности, описанной около $\triangle PKM$, по теореме синусов равен $\dfrac{KM}{\sin P}$, где $KM=2\cdot20=40$ (диаметр исходной полуокружности).

Поскольку $\angle PLH=\angle PNH=90^\circ$ (углы, опирающиеся на диаметр $KM$), отрезок $PH$ является диаметром окружности, описанной около $\triangle PNL$.

Коэффициент подобия $k=\dfrac{KM/\sin P}{PH}= \dfrac{40}{3{,}5\sin P}=\dfrac{80}{7\sin P}.$

С другой стороны, так как $\angle PLM=90^\circ$ (тоже по свойству вписанного угла), в прямоугольном треугольнике $PLM$ $\cos P=\dfrac{PL}{PM}$, значит коэффициент подобия равен $k=\dfrac{PM}{PL}=\dfrac1{\cos P}$.

Приравнивая два выражения: $$\frac{80}{7\sin P}=\frac1{\cos P}\ \Rightarrow\ \tan P=\frac{80}{7}.$$

Тогда $$\frac1{\cos^2P}=1+\tan^2P=1+\frac{6400}{49}=\frac{6449}{49},$$ и коэффициент подобия равен $$k=\frac1{\cos P}=\frac{\sqrt{6449}}{7}.$$