Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Пусть вписанная окружность касается $BC$ в точке $K$, и $BK=x$. По свойству отрезков касательных, проведённых из одной вершины, они равны: $AM=AK'=2R$ (касательная из $A$), $CM=CK=3R$ (касательная из $C$), $BK=BM'=x$ (касательная из $B$). Тогда стороны треугольника: $AC=5R$, $AB=2R+x$, $BC=3R+x$, а полупериметр $p=5R+x$.

Площадь через радиус вписанной окружности: $S=pR=R(5R+x)$.

По формуле Герона: $S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\sqrt{(5R+x)\cdot 3R\cdot 2R\cdot x}=R\sqrt{6x(5R+x)}$.

Приравняв два выражения для $S$: $R(5R+x)=R\sqrt{6x(5R+x)}$, после сокращения на $R$ и возведения в квадрат получаем $(5R+x)=6x$, то есть $5R+x=6x$... на самом деле упрощение даёт $x=R$.

Тогда стороны треугольника равны $AB=3R$, $BC=4R$, $AC=5R$ — это пифагорова тройка ($3^2+4^2=5^2$), значит треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине $B$ (против самой длинной стороны $AC$).

б) При $R=2$ стороны равны $6,8,10$, значит $AC=10$ — гипотенуза. Центр описанной окружности $O$ прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, поэтому $AO=5$.

Центр вписанной окружности $I$ находится на расстоянии $R=2$ от стороны $AC$ (по перпендикуляру в точке касания $M$), то есть $IM=R=2$, и $IM\perp AC$.

Найдём $OM$: так как $AM=2R=4$, а $AO=5$, то $OM=AO-AM=5-4=1$.

Поскольку $IM\perp AC$, а $O$ лежит на прямой $AC$, отрезки $OM$ и $IM$ образуют прямой угол, и по теореме Пифагора: $$IO=\sqrt{OM^2+MI^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$$