Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

Пусть $I$ — центр вписанной окружности, $N$ и $M$ — точки касания со сторонами $AB$ и $AC$. Так как $I$ лежит на биссектрисе угла $B$, то $\angle NBI=30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $BNI$ ($IN\perp AB$) имеем $BI=\dfrac{IN}{\sin30^\circ}=2IN$. Но $IN=IM=r$ — радиус вписанной окружности, значит $BI=2r$.

а) По неравенству треугольника для точек $B,I,M$: $BM\le BI+IM=2r+r=3r$, то есть отрезок $BM$ не превосходит утроенного радиуса вписанной окружности. Что и требовалось доказать.

б) Дано $BM=2{,}8r$, а также $BI=2r$, $IM=r$. Так как $IM\perp AC$ (радиус к точке касания перпендикулярен стороне), то $\angle IMC=90^\circ$, а значит $\angle BMC=90^\circ-\angle BMI$.

Найдём $\cos\angle BMI$ по теореме косинусов в треугольнике $BIM$: $$\cos\angle IMB=\frac{IM^2+BM^2-BI^2}{2\cdot IM\cdot BM}=\frac{r^2+7{,}84r^2-4r^2}{2\cdot r\cdot 2{,}8r}=\frac{4{,}84}{5{,}6}=\frac{121}{140}.$$

Тогда $$\sin\angle BMC=\sin(90^\circ-\angle BMI)=\cos\angle BMI=\frac{121}{140}.$$